راهن ی س ر ی )( با توجه به اینکه نمودار هر تابع با وارونش نسبت به نیمساز ربع او ل و سو م قرینه میباشد نمودار تابع لگاریتمی نیز معرفی میشود. تمرین در کالس صفحۀ 4: در این تمرین دانشآموزان عالوه بر آشنایی مختصر با مفاهیمی همچون شکافت هستهای اورانیوم با یکی از کاربردهای توابع نمایی و لگاریتمی در مسائل طبیعی آشنا میشوند. فع الیت صفحۀ 5 هدف: به دست آوردن جدول مقادیر توابع y x و y = log x و رسم نمودار این تابع با استفاده از جدول مقادیر و یافتن دامنه و برد هر کدام از توابع با استفاده از نمودار آنها مثال صفحۀ 7 y log الزم است مقادیری از دامن ه در این مثال دانشآموزان فرا میگیرند برای رسم یک تابع لگاریتمی مانند ( x) لگاریتم را انتخاب نمایند و مقدار قابل قبول برای این تابع مقادیر > x میباشد و در رسم نمودار خط x مجانب قائم منحنی است. فع الیت صفحۀ 7 در این فع الیت دو تابع = x y = ( ), y log x و با استفاده از جدول مقادیر در یک دستگاه مختصات رسم میشود و با توجه به تقارن این دو تابع نسبت به خط y x به این نتیجه میرسیم که این دو تابع معکوس یکدیگرند. بدین ترتیب دانشآموزان باید بتوانند معکوس بودن دو تابع = x y log را تشخیص دهند. x y ( ) = در صورتی که مبنای لگاریتم عددی بزرگتر از یک باشد تابع لگاریتمی به سمت منفی محور yها نزدیک میشود.اگر مبنا عددی بین صفر و یک باشد نمودار تابع لگاریتمی به سمت مثبت محور yها نزدیک می شود. تمرین در کالس صفحۀ 9 در این تمرین در کالس یک نمونه از سؤاالت جور کردنی ارائه شده است که دانشآموزان با توجه به آنچه فرا گرفتهاند باید ضابطه تابع و نمودار آن را به هم مربوط کنند. در سؤاالت جورکردنی معموال تعداد سؤال از پاسخهای داده شده بیشتر است به همین دلیل 5 ضابطه تابع و 4 نمودار داده شده است. y log پس ضابطه الف به نمودار مربوط است و ضابطه y x با توجه به اینکه یک تابع نمایی با توجه به دامنه تابع ( x) y = + log با نمودار 4 مربوط میشوند. زوال میباشد با نمودار و ضابطه x تمرین در کالس صفحۀ هدف: دانشآموزان بتوانند با تبدیل عبارت لگاریتمی به یک عبارت توانی مقدار مجهول را به دست آورند. در قسمت دو م این تمرین در کالس دانش آموزان فرا میگیرند لگاریتم هر عدد در پایه خودش مساوی یک است. logau پس از محاسبه مقدار مجهول الزم است بررسی = loga هدایت کنید: برای حل معادالت لگاریتمی به شکل کل ی v شود آیا جواب قابل قبول است یا خیر و همچنین میتوان در ابتدا دامنه هر یک از عبارتهای لگاریتمی را محاسبه و سپس معادل ه لگاریتمی را حل کرد و در پایان مشخص کرد که آیا جواب به دست آمده قابل قبول است یا خیر قوانین )قضایای( لگاریتم: دانشآموزان با استفاده از تعریف لگاریتم قضیه مربوط به آن را اثبات میکنند. قوانین ارائه شده در این بخش قضایای اصلی لگاریتماند که در محاسبه لگاریتم و حل معادالت لگاریتمی کاربرد فراوانی دارند. 8
توصیۀ آموزشی با توجه به بحثهایی که در خصوص دامنه توابع مطرح شد دانشآموزان باید به این نتیجه رسیده باشند که درحل معادالت به ویژه معادالت لگاریتمی محاسبه دامنه از اساسیترین بخش حل معادالت لگاریتمی است که البته میتوان برای سهولت پس از حل معادالت لگاریتمی قابل قبول بودن جوابهای معادله را بررسی کرد. هدایت کنید: کاربرد قوانین لگاریتم در محاسبه لگاریتم اعداد و کاربرد معادالت لگاریتمی در مسائل مطرح شده است. برای قوانین مطرح شده در مسئله صفحه 7 نیز میتوان کاربرد آنها را در حل مسائل نشان داد. به عنوان مثال می توان قانون تغییر را برای محاسبه لگاریتم اعدادی که مبنای غیر از دارند به کار برد. )ماشین حساب فقط لگاریتم اعداد log log log = log (ab)d = log ab + log d = log a + log b + log d c c c c c c n n n c = = c + c + + c = c log a log a a a log a log a log a n log a log a c log a e مبنا = loge c در مبنای را محاسبه می کند(. مسائل صفحۀ 5 تمرین در کالس صفحۀ 5 n n x n nx x nx x nx x x c = = = = = = c = c = c log a n a c a (c ) c a c a c log a nx log a x log a log log log x log x log x x = = = ( c c c c c مسائل صفحۀ 7 ( y loge a y = logca a = c logca = log c e e e e y logea loge c ylogec = = = y log c log c log y c ( y= logc a a = c a = c log a 4( c a log c = a log c = a c ( log = log 7 = log log = log = log 7 = 7 7 7 7 ( log (log (log 8)) = (log ( log )) = log (log ) = log= y log x = 84
)( ی ر س ی راهن 7 امتداد در را y = log x تابع نمودار y log x) ( نمودار رسم برای میدهیم. انتقال چپ به واحد یک xها محور 4 PH log 4 / 9 = 9 = (log / + log ) = (log log ) 9 4 8 = (log9 log 4log ) = ( / 46 4) = / 54 PH = 7 log H O = log [H O] = x = 7 7 + 7 ) تکمیلی سؤاالت ه دهند نشان t که آید. دست به Q(t) = 4 5 فرمول از نمونه یک در موجود باکتریهای تعداد اگر ( کنید: محاسبه است روز حسب بر زمان را باکتریها اولیه تعداد الف( روز 4 گذشت از بعد را آنها تعداد ب( روز 4 گذشت از بعد را آنها تعداد پ( برحسب زمان دهنده نشان t آن در که شود تجزیه Q(t) = Q فرمول طبق رادیواکتیو ایزوتوپ یک اگر ( میماند. باقی سال یک گذشت از پس ماده این اولیه مقدار از کسری چه کنید تعیین است. سال کنید. محاسبه را زیر عبارتهای مقدار لگاریتمی توابع بین روابط از استفاده با )الف log 5 )پ log 5 ( 5) )ب loga )ث log 6 7 a )ت 5 og 6 )ج )چ log 5 ( ) log 85
y log (x ) y log x y = x ( ) کنید. رسم را زیر توابع نمودار 4 پایانی ارزشیابی سؤاالت نه نمو a n صورت به ای دنباله عمومی جمله n+ n = n + n شوند. نزدیک سمت به آن جمالت که بزنید مثال حسابی دنباله 4 و 4 اعداد بنویسید. 6 فرجه با را آورید. بهدست را و 6 عدد دو بین مثبت هندسی واسطه 4 میباشد عدد دنباله این چندم جمله میباشد رد میآید. بهدست y 6x معادله از میشود حاصل شرکت یک توسط کاال یک تولید از که سودی 5 سوددهی تا کند تولید کاال تعداد چه شرکت این میباشد. تومان حسب بر حاصل سود y و کاال تعداد x معادله این شود آغاز را آن جبری نمایش و کنید رسم را تابع این نمودار f (), f () 5 داریم خطی تابع یک برای 6 بنویسید. آورید. بهدست را تابع این برد است }مفروض,, } دامنه با y x تابع 7 کنید. رسم را آن وارون نمودار است. شده رسم زیر در h)x( رابطه نمودار 8 و y x توابع نمودار y x تابع نمودار به توجه با 9 کنید. مشخص را عرضها محور با نمودار هر تالقی محل کنید. رسم را y x 86
راهن ی س ر ی )( در جدول زیر آیا تغییرات تابع نمایی است چرا x y 4 5 5 7 9 45 با استفاده از قوانین لگاریتمی حاصل عبارتهای زیر را بهدست آورید. y log f (x) log را رسم کنید. نمودار تابع x معادله لگاریتمی زیر را حل کنید. )الف y log )ب log 5 5 log x = log6 + log49 4 log باشد حاصل لگاریتم log 8 7 را بر حسب a و b بنویسید. 5 8 = b, log 5 = a 4 اگر 7 87
راهن ی س ر ی )( نگاه کل ی به فصل پنجم اهداف کل ی آشنایی با واحدهای اندازهگیری زاویه و روش تبدیل آنها به یکدیگر آشنایی با دایره مثلثاتی بهدست آوردن نسبتهای مثلثاتی tan,cos,sin هر نقطه روی دایره مثلثاتی 4 بهدست آوردن نسبتهای مثلثاتی زاویههای بین صفر تا رادیان که مقدار یکسانی دارند. 5 بهدست آوردن نسبتهای مثلثاتی زوایای قرینه متمم مکمل و... با استفاده از دایره مثلثاتی 6 آشنایی با رابطه بین مفهوم شیب خط و تانژانت زاویه ٧ آشنایی با توابع مثلثاتی ٨ به دست آوردن دامنه و برد برخی توابع مثلثاتی ٩ آشنایی با مفهوم دوره تناوب در توابع مثلثاتی عملکرد مورد انتظار دانشآموزان دانشآموزان باید بتوانند: با استفاده از دوران نیمخط حول مبدأ اندازه جبری هر زاویه را نمایش دهند. )زاویه را در موقعیت استاندارد رسم کنند( رادیان را تعریف کنند. واحدهای اندازهگیری زاویه) درجه و رادیان( را به یکدیگر تبدیل کنند. 4 اندازه هر زاویه را با معلوم بودن شعاع و طول کمان محاسبه کنند. 5 دایره مثلثاتی را تعریف کنند. 6 با استفاده از دایره مثلثاتی نسبتهای مثلثاتی Sin و Cos هر نقطه را بهدست آورند. 7 بر روی دایره مثلثاتی تانژانت هر زاویه را مشخص کنند. 8 نسبتهای مثلثاتی زوایای بین صفر و که مقادیر یکسانی دارند را مشخص کنند. 9 با معلوم بودن مختصات هر نقطه نسبتهای مثلثاتی آن را بهدست آورند. مقادیر دقیق نسبتهای مثلثاتی زوایای خاص را بهدست آورند. با استفاده از دایره مثلثاتی زوایای قرینه متمم مکمل و... را بهدست آورند. شیب خط را با استفاده از تانژانت زاویه محاسبه کنند. ١٣ مفهوم تابع مثلثاتی را درک کنند و مثالی ارائه کنند. 4 دامنه و برد توابع y cosx, y sinx را بهدست آورند. ١٥ دوره تناوب توابع بهصورت کلی y a cosbx, y asinbx را بهدست آورند. ١٦ با استفاده از منحنی توابع مثلثاتی تغییرات تابع را در هر دوره مشخص کنند. ١٧ محل برخورد توابع y (cos) kθ, y sinkθ با محور طولها را پیدا کنند. ١٨ مقادیر حداقل و حداکثر توابع y a cosbx, y asinbx را تعیین کنند. 89
پیش نیازها آشنایی با مفاهیم اولیه نسبتهای مثلثاتی و روش بهدست آوردن آنها برای زوایای یک مثلث قائمالزاویه. زمانبندی پیشنهادی برای تدریس این فصل بیان مفهوم دوران زاویه موقعیت استاندارد زاویه و واحد دیگری برای اندازهگیری زاویه حل مسائل صفحه 6 شناخت دایره مثلثاتی حل مسائل صفحه تعیین مقادیر مثلثاتی برای تمام زوایا حل مسائل صفحه 6 ارزشیابی تابع مثلثاتی منحنی توابع مثلثاتی تا صفحه 4 رابطه بین منحنی تابع سینوسی و دایره مثلثاتی تا پایان صفحه 44 دوره تناوب حداقل و حداکثر و رسم نمودار تابع حل مسائل صفحه 47 کاربردهایی از مثلثات حل مسائل صفحه 5 رسم تابع مثلثاتی نقشۀ مفهومی فصل پنجم کتاب درسی دوره تناوب و حداقل و حداکثر مقدار تابع جلسه بیست و هشتم جلسه بیست و نهم جلسه سیام جلسه سی و یکم جلسه سی و دوم جلسه سی و سوم جلسه سی و چهارم جلسه سی و پنجم جلسه سی و ششم جلسه سی و هفتم رابطه منحنی تابع سینوسی و دایره مثلثاتی منحنی تابع مثلثاتی آشنایی با تابع مثلثاتی دامنه و برد تابع مثلثاتی تعیین مقادیر مثلثاتی برای تمام زوایا تعیین عالمت عبارت های مثلثاتی تعیین مقادیر مثلثاتی دایره مثلثاتی تبدیل واحدهای اندازه گیری به یکدیگر واحد اندازه گیری زاویه درجه و رادیان جهت چرخش زاویه آشنایی با دوران موقعیت استاندارد زاویه 9
)( ی ر س ی راهن معلم برای نی س دا ابتدای در دیگر علم هر مانند و دارد فراوانی کاربرد نیز دیگر علوم در که میباشد ریاضی مفاهیم اساسیترین از یکی مثلثات علم میدهد نشان گذشته سال درسی کتاب به اجمالی نگاه شوند. آشنا آن تعاریف و واژهها اصول مفاهیم با دانشآموزان است الزم آموزش مثلثاتی دایره تعریف به باشند داشته اندازهگیری واحدهای و جهتدار زاویههای از شناختی دانشآموزان اینکه بدون مطلب به ورود در که برای قراردادهایی عنوان به و و نماد از و نشدهاند آشنا رادیان اندازهگیری واحد با دانشآموزان که آنجایی از و است شده پرداخته اب ارتباطی چه /4 که میماند باقی پاسخ بدون دانشآموزان ذهن در سؤال این همواره میکردند استفاده درجه 9 و 8 زوایای تعاریف صرف بیان میکردند. استفاده نماد از بدانند را رادیان و درجه بین رابطه و رادیان مفهوم اینکه بدون واقع در دارد درجه 8 در دانشآموزان اغلب برای را مثلثات علم بودن مبهم و پیچیدگی بلکه نکرده فراهم مسئله حل برای ابزاری تنها نه قوانین و قراردادها صورتی در میشده استفاده آن به مربوط قوانین و مثلثاتی نسبتهای معرفی عنوان به تنها مثلثاتی دایره از دیگر طرف از است. داشته پی تابع برد و دامنه sin x = مانند ساده معادالت از بعضی حل اندازهگیری واحدهای بین ارتباط بررسی برای میتوان دایره این از که و باالتر دورههای در مثلثاتی توابع رسم کرد. استفاده مثلثاتی دایره روی بر منحنی تغییرات بین رابطه و y sinx, y cosx تناوب دوره حداکثر و حداقل تناوب دوره مبنای بر سادهای بسیار روش با که صورتی در میگیرد انجام مشتق مفهوم و تغییرات جدول از استفاده با کرد. آسان هنرستان دانشآموزان برای ویژه به را منحنی رسم پیچیدگی میتوان y acosbx, y asinbx توابع ریشههای و تابع مقدار اب که مییابند دست توانایی از سطح این به دانشآموزان که طوری به میباشد تحلیلی صورت به مثلثات معرفی مزایای از یکی موضوع این پایان در دیگر عبارت به کنند پیدا را منحنی تناوب دوره و حداکثر و حداقل مقادیر دهند تشخیص را آن نوع مثلثاتی منحنی یک به نگاه ار مطالب مسئله حل و یادگیری هنگام در دانشآموزان که باشد گونهای به باید درسی کتاب هر کنند. خوانی منحنی میتوانند دانشآموزان است. بوده موضوع همین نیز کتاب اصلی هدف که شوند آشنا خود پیرامون و واقعی دنیای در مطالب کاربرد با و بیابند جذاب 9
درسی کتاب پنجم فصل های بخش آموزش زوایا اندازۀ و زوایا اهداف بتوانند: باید آموزان دانش بخش این آموزش پایان در کنند. رسم استاندارد موقعیت در را زاویه مبدأ حول خط نیم دوران از استفاده با بخش به کل ی نگاه هجرد 6 4 نسبتهای مقادیر و شدهاند آشنا قائمالزاویه مثلث در مثلثات مفهوم با دانشآموزان دبیرستان ل او سال در هستند: آشنا زیر روابط با همچنین آوردهاند. بهدست را y x y sin θ=, cos θ=, tan = r r x r y θ x مثلثاتی نسبتهای بتوان آن مبنای بر که داد ارائه تعریفی باید ندارد درجه 9 از بزرگتر زاویه قائمالزاویه مثلث یک اینکه به توجه با اما میپردازیم. مثلثاتی دایره و مثلثاتی نسبتهای تعریف به بخش این در دلیل همین.به آورد بهدست را زاویه هر صفحۀ فع الیت هدف: کنند. تبدیل چرخش به را دوران از نسبتی هر کنند. تعریف را زاویه چرخش جهت و زاویه زمین محور حول قطبی ستاره ظاهری حرکت نجوم علم در مثلثات کاربرد با آشنایی و انگیزه ایجاد منظور به دهید: توسعه است: زیر صورت به مطلب کامل توضیح که است شده ارائه قطبی ستارۀ وضعیت به راجع بیشتر توضیحات و ستارگان حتی میبیند. را آسمانی اجرام کند نگاه که طرف هر به شود خارج خود سفینه از فضانوردی اگر آسمان: کره سطح به آسمانی اجرام که گرفته قرار بزرگی بسیار کره داخل که میکند تصور چنین و بببیند میتواند هم با را... و ماه و خورشید انجام آن روی نجومی اندازهگیریهای از بسیاری که گویند آسمان کره از فرضی تصوری را کره این چسبیدهاند. کره این داخلی میگیرد. 9
)( ی ر س ی راهن ج که قطبی ستاره از نزدیکی بسیار فاصله در است جایی آسمان قطب آسمان: قطب قطبی ستاره الف ب قطبی ستاره با درجه /75 حدود سماوی شمال قطب گویند. سماوی شمال قطب آن به ستاره شمالی نیمکره در را آسمان قطب عمال که شده باعث اندک فاصله )این دارد. فاصله از آن ارتفاع که است ثابتی نقطه محل هر آسمان در آسمان قطب میگیریم(. نظر در قطبی بدور ستارگان و است ایستاده شمال به رو بایستد آن طرف به هرکس و است ثابت افق سطح سه در قطبی ستاره دور به اکبر دب فلکی صورت حرکت روبهرو شکل در میچرخند. آن است. شده داده نمایش مختلف حالت نیمکره آسمان واقع در میبیند. خود سر باالی در را آسمان کره از نیمی همواره فرد یک ارتفاع(: و )سمت افقی مختصات میرسد. آسمان در سرمان باالی به و میشود شروع افق دایره از که است گنبدی یا کوه مانند موانعی که جایی )در افق این میگویند. افق را رسیدهاند یکدیگر به زمین و آسمان میآید نظر به که جایی افق: دایرۀ نآ روی که صفحهای و میگویند افق دایره آنرا که میکند ایجاد را دایرهای دریا( وسط مانند ندارد وجود ساختمان و درخت و مینامند. افق صفحه را است افق دایره آن حد آخرین و ایستادهایم گویند. الرأس سمت را میگیرد قرار ناظر سر باالی درست که آسمان در فرضی نقطهای الرأس: سمت یک ارتفاع گویند. ستاره ارتفاع را افق صفحه و میکند وصل ناظر ایستادن محل به را ستاره که خطی بین زاویه ارتفاع: داده نمایش مختلف ارتفاع چند دست اشاره با شکل در باشد. میتواند الرأس( )سمت درجه 9 تا افق( )لب صفر از آسمان در ستاره است. شده افق افق را خط این شود عمود افق صفحه بر و بگذرد ستاره یک از تا بکشیم دایرهای( )ربع خطی الرأس سمت نقطه از اگر سمت: روی شمال نقطه بین زاویهای فاصله از است عبارت سمت حال هر به است( عمودی دایره از جزئی واقع )در گویند عمودی دایره افزایش جهت است. درجه 6 تا صفر از و میشود بیان درجه حسب بر سمت افق. با ستاره یک عمودی دایره تقاطع محل تا افق درجه 7 غرب و 8 جنوب درجه 9 شرق نقطه سمت دقیقا یعنی است غرب و جنوب شرق سوی به شمال از سمت درجات میدهد. نشان را ستاره یک ارتفاع و سمت زیر شکل است. الرأس سمت عمودی دایره ستاره شرق افق دایره ارتفاع ناظر سماوی کرۀ روی ارتفاعی سمت مشخصات شمال نقطه 9
مثال صفحۀ اهداف دانشآموزان بتوانند هر زاویه معلوم را در موقعیت استاندارد رسم کنند. )مثال ( (8 º α), (6 º که در آن < 9 α < α), (9 º زوایای بزرگتر از 6 º, 7 º, 8 º, 9 º را با تبدیل به α) رسم نمایند. )مثال ( تمرین در کالس صفحۀ 4 به منظور ارزشیابی تکوینی از اهداف فع الیت و مثال صفحه تمرین در کالس ارائه شده است. تمرین در کالس صفحۀ 4 6 = دور کامل الف( 6 7 4 4 ب( = دور کامل در جهت عقربههای ساعت 45 º 6 º 45 º یک دور کامل 45 º ) 45 94 واحد دیگری برای اندازهگیری اهداف: دانش آموزان بتوانند: با معلوم بودن شعاع دایره اندازه کمان مقابل به هر زاویه مرکزی را بهدست آورند. رادیان را تعریف کنند. ٣ واحدهای اندازه گیری زاویه )درجه و رادیان( را به یکدیگر تبدیل کنند. ٤ اندازه هر زاویه را با معلوم بودن شعاع و طول کمان محاسبه کنند. ٥ دایره مثلثاتی را تعریف کنند. ٦ با استفاده از دایره مثلثاتی نسبت های مثلثاتی sin و cos هر نقطه را به دست آورند. ٧ بر روی دایره مثلثاتی تانژانت هر زاویه را مشخص کنند. ٨ نسبت های مثلثاتی زاویه های بین صفر و ٢ رادیان که مقادیر یکسانی دارند را مشخص کنند.
)( ی ر س ی راهن آورند. بهدست را آن مثلثاتی نسبتهای نقطه هر مختصات معلومبودن با ٩ آورند. بهدست را خاص زوایای مثلثاتی نسبتهای دقیق مقادیر ١٠ آورند. بهدست را و مکمل متمم قرینه زاویههای مثلثاتی دایره از استفاده با ١١ مطلب به ورود میشوند. آشنا است مثلثات در اساسی مفاهیم از یکی که رادیان مفهوم با استقرایی روش به فع الیت انجام با دانشآموزان ه مرحل در سپس میآید بهدست مرکزی زاویه به روبهرو کمان اندازه مرکزی اندازه و دایره شعاع بودن معلوم با تا مرحلههای در دبیران میکنند پیدا دایره هر در را آن به روبهرو مرکزی زاویه و کمان بین رابطه استقرایی روش از استفاده با دانشآموزان چهارم کنند. تعریف را رادیان اندازهگیری واحد باید فعالیت این انجام از پس گرامی با: است برابر کمان طول باشند r دایره شعاع و θ مرکزی زاویه اندازه اگر دهید: توسعه نسبت پس است. ثابت θ اندازه و کمانها تمام برای نسبت این دارد. بستگی θ به تنها L r θ L θ L =.r = 8 r 8 L θ L L L = = = r 8 r r r I I r r مینامیم. رادیان حسب بر کمان اندازه را L r نسبت میباشد. رادیان حسب بر مرکزی زاویه اندازه L r است. رادیان مرکزی زاویه این اندازه باشد دایره شعاع طول برابر مرکزی زاویه به روبهرو کمان طول دایره در هرگاه بنابراین است. رادیان یک α باشد دایره شعاع اگر مثال α 5 صفحۀ فع الیت باشد: درجه 9 است چرخیده علی که زاویهای اگر دایره محیط شده: پیموده مسافت دایره محیط شده: پیموده مسافت است: دایره محیط هشتم یک درجه 45 کل ی: حالت در 4 9 = = = / 57 km 6 4 4 5 7 7 7 = = = 5/ 5km 6 8 8 4 7 765= ( 6) + 45 = ( ) + = = / 5km 4 4 = θ 6 θ θ 6 دایره محیط شده پیموده مسافت شده طی زاویه 95
تذکر )فع الیت صفحۀ 5(: دانشآموزان مقدار ٢را برابر 6 درجه نشناختهاند بنابراین نباید در عبارت قبلی این دو θ مقدار را ساده کرد. مسافت پیموده شده برابر است با r 6 مثال صفحۀ 6 هدف: دانشآموزان بتوانند با استفاده از رابطه درجه و رادیان هر یک از زاویهها را به دیگری تبدیل کنند. با استفاده از فعالیت صفحه 5 دانشآموزان در دایره به شعاع واحد هریک از زاویههای 9 و 8 و 45 درجه را بر حسب رادیان بنویسند. در پایان توضیحات ارائه شده رابطه بین درجه و رادیان بیان شده است. R =.D R = D 8 8 تمرین در کالس صفحۀ 7 هدف: تمرین های ارائه شده هر یک اهداف مطرح شده در مثال صفحه 6 را ارزشیابی میکنند. در تمرین شماره دانشآموزان عالوه بر اینکه هر یک از واحدهای درجه و رادیان را به یکدیگر تبدیل میکنند نسبت به مفهوم دایره مثلثاتی که در بخش بعدی به آن پرداخته خواهد شد نیز شناخت پیدا میکنند. و برابری θ (l =.r) 5 6 در تمرین در کالس شماره 5 دانشآموزان با استفاده از نتیجهای که در فعالیت صفحه L 6 فرا گرفتهاند به رابطه =θ میرسند. مثال صفحه 7 کاربرد این رابطه را نشان میدهد. r 6 º که در مثال صفحه ( یک دور کامل و یا 6: º R D= = R = 8 9 45 6 9 5 5 8 5 4 7 5 5 7 5 4 5 7 6 4 6 6 6 4 4 6 = 7 رادیان رادیان = 6 7 θ 7 7 L= L= r = θ= = 6 6 ) 4( درجه درجه )5 بنابراین اگر زاویه θ در دایرهای به شعاع R کمانی به طول L را طی کند در این صورت درجه رادیان θ L L = r L =θ.r θ= 6 r حل مسائل صفحۀ 8: دانش آموزان در مسائل و باید بتوانند هر یک از زاویههای درجه و رادیان را به یکدیگر تبدیل کنند که از نظر سطوح شناختی در سطح درک و فهم میباشد. مسائل شماره 5 4 کاربرد مفاهیم درجه و رادیان را مورد ارزشیابی قرار میدهد مسئله شماره 6 درک و فهم دانشآموزان را ارزشیابی میکند. L θ= r از رابطه ( الف 96
D D R = 7 8 راهن ی س ر ی )( ب( ) درجه 7 رادیان یک دور کامل و 8 درجه در جهت عقربههای ساعت برابر است با رادیان عقربه از ساعت یک بعد از ظهر تا ساعت بعد از ظهر دور کامل ساعت را طی میکند. 6 = 6 ) رادیان = رادیان است. چون عقربه در جهت منفی میچرخد پس زاویه 4( 9 45 6 درجه /5 رادیان عقربه دقیقه شمار هریک ساعت 6 درجه را طی میکند. 5( درجه 4 9 6 زاویه بین دو کابین متوالی (زاویه کابین شماره ) 7 9 زاویه طی شده 47 = 846 846 + 7 = 87 کابین شماره: 9 7 5 5 6) (٢ 87 L θ= = = = / 55 r 644 644 6( رادیان حل یک مسئلۀ صفحۀ 8 هدف: شناخت دایره مثلثاتی از طریق معرفی زوایای بیشتر از 9 درجه )انتقال مفاهیم نسبتهای مثلثاتی از زوایای کمتر از 9 درجه به زوایای بیشتر از 9 درجه( در این مسئله کابین چرخ و فلک به اندازه درجه خالف جهت عقربههای ساعت دوران داده شده و با معلوم بودن شعاع چرخ و فلک )m )op و فاصله مرکز چرخ تا زمین ) )O فاصله کابین P تا سطح زمین بهدست میآید. 97 O, OP o, P o, OH X, H h O OH H X h X h x h cos = = = h = پس از حل مثال این سؤال مطرح میشود که اگر زاویه چرخش کابین بیش از 9 درجه باشد چگونه میتوان فاصله بین کابین تا سطح زمین را بهدست آورد بنابراین دانشآموزان با حالتی مواجه میشوند که دیگر نمیتوانند از مثلث قائمالزاویه برای بهدست آوردن نسبتهای مثلثاتی استفاده کنند و در نتیجه باید روشی ارائه کرد که بر مبنای آن مقادیر مثلثاتی هر زاویه دلخواه محاسبه شود. فع الیتصفحۀ 9 هدف: با معلوم بودن مختصات هر نقطه نسبتهای مثلثاتی سینوس و کسینوس زاویه را بهدست آورند. مرحله او ل: نیم خط op با زاویه 57/ درجه را بر روی دایره جدا میکنیم. بپرسید H O P P مرحلۀ او ل: چرا زاویه )57/ درجه( از دانشآموزان بخواهید 57/ درجه را به رادیان تبدیل کنند.
مرحلۀ دو م: اندازهگیری مختصات نقطه: )/54 p و /84( p مرحلۀ سو م: استفاده از ماشین حساب :/84 cos 57/ /54 sin 57/ مرحلۀ چهارم: دانشآموزان با و 4 برابر کردن اندازه زاویه به طور شهودی و استقرایی به این نتیجه برسند که طول نقط ه p با cos θ و عرض نقطه p با sin θ برابر است. توصیۀ آموزشی برای درک مفهوم دایره مثلثاتی و رابطه بین مختصات نقطه و نسبتهای مثلثاتی الزم است دانشآموزان به طور شهودی با انجام فعالیت به نتیجهگیری بپردازند و سپس دایره مثلثاتی تعریف شود. مثال صفحۀ اهداف دانشآموزان سینوس و کسینوس زوایای 7 8 9 و 6 درجه را با معلوم بودن مختصات نقطه بهدست آورند. با استفاده از ماشین حساب مقادیر دقیق سینوس و کسینوس بعضی از زوایای خاص را روی دایره مثلثاتی مشخص کنند. با استفاده از دایره مثلثاتی نسبتهای مثلثاتی که مقادیر یکسانی دارند را مشخص کنند. توصیۀ آموزشی 98 در صفحه کتاب مقادیر دقیق سینوس و کسینوس بعضی از زوایای خاص بر روی دایره مثلثاتی نمایش داده شده است. با استفاده از این دایره مثلثاتی عالوه بر اینکه میتوان مقادیر دقیق نسبتهای مثلثاتی را که بر حسب رادیان هستند بهدست آورد همچنین میتوان معادالت مثلثاتی که در آنها sin θ و یا cos θ برابر با مقادیری خاص روی دایره مثلثاتی نیز هستند را حل کرد. البته در ارائ ه مفاهیم بعدی برای تعیین دامنه و برد توابع مثلثاتی نیز از این دایره مثلثاتی استفاده می شود. تمرین در کالس صفحۀ اهداف دانشآموزان با استفاده از رابطه sin θ tan θ= cosθ مقادیر tan θ زوایای روی دایره مثلثاتی صفحه را بهدست آورند. با استفاده از دایره مثلثاتی صفحه هر یک از نسبتهای مثلثاتی را در هر ناحیه تعیین عالمت کنند. r x y r cos θ sin θ r cosθ x sinθ y y sin θ tan θ= = x cosθ ) sin ( 7) tan ( 7) = = = cos( 7)
راهن ی س ر ی )( sin tan = = = cos P θ 4 تانژانت زاویه در حالت <θ< در متن درس معرفی شده است که در این تمرین در کالس حالت <θ< نیز بررسی میشود. Q تانژانت زاویه θ است. )امتداد op محور تانژانت را در نقطه Q قطع میکند.( Q <θ< θ <θ< θ <θ< θ <θ< θ ٥ > tanθ y, x cosθ >, sinθ >, هر دو مثبت در ناحیه او ل < tanθ y cosθ <, sinθ >, مثبت و x منفی در ناحیه دو م > tanθ y, x cosθ <, sinθ <, هردو منفی در ناحیه سو م < tanθ x cosθ >, sinθ <, مثبت و y منفی در ناحیه چهارم مثال صفحۀ دانشآموزان با تعیین عالمت نسبتهای مثلثاتی بر حسب درجه آشنا شدهاند. در این مثال نسبتهای مثلثاتی بر حسب رادیان )در جهت عقربههای ساعت( داده شده است که میتوان این زاویه را به طور مستقیم و یا با تبدیل رادیان به درجه در موقعیت استاندارد رسم کرد. تمرین در کالس صفحۀ در تمرین در کالس شماره دانشآموزان باید هر زاویه را در موقعیت استاندارد رسم کنند. )دو دور کامل 9 درجه( )9 7( 8 جهت عقربههای ساعت 6 دور کامل 8 درجه ) 8 6*6 ( 4 در خالف جهت عقربههای ساعت این تمرین در کالس هدف شماره مطرح شده در مثال صفحه را ارزشیابی میکند. دانشآموزان باید نسبتهای مثلثاتی که مقادیر یکسانی دارند را مشخص کنند )با استفاده از دایره مثلثاتی صفحه ( مسائل صفحۀ )با استفاده از دایره مثلثاتی صفحه ( sin tan = tan = = = 6 cos cos = sin = sin5 = 4 99
cos 7 = cos5 = 4 sin θ+ cos θ= sin θ= ( ) 4 5 4 = = = 5 5 5 5 sin θ=± =± 5 5 دانشآموزان باید بتوانند با معلوم بودن مختصات یک نقطه نسبتهای مثلثاتی tanθ, cosθ, sinθ را به دست آورند. sin θ=, cos θ=, tan θ= 5 = 5 5 5 θ= θ= sin )الف θ= 5 )ب sin θ sin tan θ= = θ= = = cosθ cos sin( ) θ= = = cos( ) cos )ج θ= =θ=. θ= 4 دایره مثلثاتی صفحه 5 دانشآموزان باید بتوانند با استفاده از مفهوم دوران و دایره مثلثاتی صفحه 9 مقدار هر یک از عبارتها را بهدست آورند. sin( + ) = sin ( 6+ 6) = sin6= cos( + ) = cos = cos( ) = cos( 6 ) = cos( ) = 6 sin ( ) = sin( 6 45) = sin( 5) sin( 5) = 4 θ= 6 cos6 = <θ< θ= 6 cos= θ= sin θ=, <θ< θ= 6 با استفاده از دایره مثلثاتی صفحه 7 الف(
)( ی ر س ی راهن θ θ 5 º ب( θ θ º θ 45 º, θ 5 º, θ 5 º, θ 5 º 8 4 صفحۀ فع الیت آورند. بهدست را مکمل زوایای مثلثاتی دایره از استفاده با بتوانند دانشآموزان هدف: میتوان مثلثها تشابه از استفاده با همچنین و شدهاند آشنا راهنمایی دوره در مرکزی و محوری تقارن مفاهیم با دانشآموزان نیست. کتاب هدف رابطه اثبات ولی آورد بهدست را مکمل زاویههای مثلثاتی نسبتهای Q(x, y ) P(x,y ) و B O QO = OP = گرفت نتیجه میتوان محوری تقارن از استفاده با QO = OP 4 OQ = 8 = 5 sin5 = sin = cos5 = cos = sin5 = sin( 8 ) = sin = cos5 = cos( 8 ) = cos = گرفت: نتیجه میتوان فوق بند دو از 5 کنند. نتیجهگیری و دهند انجام کل ی حالت در θ زاویه برای را فوق فع الیت که شود خواسته دانشآموزان از sin ( θ) sin θ cos ( θ) cos θ 5 صفحۀ کالس در تمرین زاویههای کسینوس و سینوس مقادیر مکم ل زوایای از استفاده با بتوانند باید دانشآموزان آورند. بهدست را 56, sin = sin( ) = sin =
cos = cos( ) = cos = 5 cos = cos( ) = cos = 6 6 6 5 صفحۀ فع الیت آورند. بهدست را متمم زوایای مثلثاتی نسبتهای دانشآموزان هدف: میآید. بهدست cos θ,sin( θ ) مقادیر مثلثاتی دایره از استفاده با سپس و شود گرفته نظر در زاویه یک آموزشی توصیۀ تابثا میتوان قویتر دانشآموزان برای ولی میکنند نتیجهگیری را رابطه درستی شهودی و استقرایی روش با دانشآموزان کرد. بیان م سو و ل او ربع نیمساز به نسبت تقارن از استفاده با را P(x,y) P(cos θ,sin θ) sin ( θ ) = cosθ Q(x,y ) Q(cos( θ),sin( θ) cos( θ ) = sin θ θ θ پس: قرینهاند م سو و ل او ربع نیمساز به نسبت, زاویه دو ضلعهای x y, y x 5 صفحۀ کالس در تمرین آورند. بهدست را cos 9) (θ sinθ, sin(9 (θ cosθ زوایای مثلثاتی نسبتهای دانشآموزان هدف: اهداف جزء رابطه اثبات شود. انجام باید دلخواه زاویه هر برای نقاله و پرگار از استفاده با قبلی فعالیت همانند فعالیت این نمود: بیان زیر شکل به تقارن از استفاده با را اثبات میتوان ولی نیست کتاب بهدست yها محور به نسبت تقارن سپس و م سو و ل او ربع نیمساز به نسبت تقارن دو ترکیب از θ+ زاویه پایانی ضلع میآید. ( P (x, y) P(cosθ, sinθ) cos( +θ ) = sin θ Q(x, y ) = Q(x, y ) Q(cos( +θ ),sin( +θ)) x y, y x, sin( +θ ) = cos θ Q P
راهن ی س ر ی )( فع الیت صفحۀ 6 هدف: دانشآموزان بتوانند نسبتهای مثلثاتی )α ( را بهدست آورند ( اثبات رابطه هدف کتاب نیست.( ضلعهای پایانی دو زاویه,θ θ نسبت به مبدأ مختصات قرینهاند. P(cosθ, sinθ) Q (cos ( θ ), sin ( θ) ) sin ( θ) sin θ cos ( θ) cos θ تمرین در کالس صفحۀ 6 تمرین های و هدف تعیین شده در فعالیت فوق را ارزشیابی میکند. در تمرین شماره دانشآموزان باید با استفاده از تعریف sin θ tan θ= cosθ مقدار (θ tan ) را بهدست آورند. sin( +θ) sin θ tan( +θ ) = = = tan θ cos( +θ) cosθ فع الیت صفحۀ 6 هدف: دانشآموزان بتوانند نسبت های مثلثاتی زوایای قرینه را محاسبه کنند. در ابتدا دانشآموزان درستی رابطه را با استفاده از ماشین حساب نتیجه گیری می کنند و سپس با استفاده از شکل رسم شده و مقادیر مختصات نقطه p و قرینه آن نسبت به محور xها نقطه Q دلیل درستی رابطه بیان میشود. sin ( θ) sin θ cos ( θ) cos θ P Q تمرین در کالس صفحۀ 7 دانشآموزان باید روابط گفته شده را برای tan θ بهدست آورند. دانشآموزان با استفاده از زوایای قرینه و مکمل مقادیر خواسته شده را بهدست آورند. )دو هدف را ارزشیابی میکند( sin( θ) sin θ tan( θ ) = = = tan θ cos( θ) cosθ cos ( θ 8 º ) cos (8 º θ) cos (8 º θ) cos θ رابطۀ بین شیب خط و تانژانت زاویه اهداف: در پایان آموزش این بخش دانشآموزان باید بتوانند: رابطه بین شیب یک خط و تانژانت زاویهای که آن خط با محور xها میسازد را با ذکر مثال بیان کنند. در سال گذشته شیب خطهایی که با محور xها زاویه حاده میسازند را برابر با تانژانت همان زاویه تعریف کردیم. اما در مورد
بنابراین مییابد کاهش نقطه طول نقطه یک عرض افزایش با که میدانیم میسازند منفرجه زاویه xها محور مثبت جهت با که خطهایی باشد. منفی عددی باید منفرجه زاویههای تانژانت پس میباشد منفی خطها از دسته این شیب tan ( θ) tan θ B ( θ) بپرسید میسازد زاویهای چه xها محور با y x خط آورید. بهدست را خط این شیب میسازد درجه زاویه xها محور با d خط 8 صفحۀ مسائل )ب x = y = + cos( ( ) ) = + cos( ) = + = + 6 4 6 4 6 4 8 )ج 4 x = y = 4 sin( ( ) ) = 4 sin( ) = 4 cos( ) = 4+ = 6 6 cos ( 4 ) cos ( _ 4 ) 9/ º رادیان اند. مساوی طول دارای Q و P نقطه دو 9/ P Q 9/ sin θ /4 sin (8 θ) sinθ /4 sin ( θ) sinθ /4 cos θ / cos ( θ) cosθ / 4 sin( θ ) = cos θ= / زیرا: است نادرست عبارت دو هر 5 sin( ) = sin( ) sin( ) = sin P Q 4
راهن ی س ر ی )( cos = cos 6 5 cos = cos5 6 θ= sin( ) = sin = Q 5 P طول نقاطP و Q قرینه یکدیگرند. 6 sin sin = = sin( θ) sin sin θ 7 cosθ) cos ( θ) cosθ cos θ cos (θ ) cosθ ( تابع مثلثاتی اهداف در پایان آموزش این بخش دانشآموزان باید بتوانند: توابع مثلثاتی را تشخیص دهند. دامنه و برد توابع y cosx, y sin x را تعیین کنند. دوره تناوب توابع y acosbx, y asinb x را پیدا کنند. 4 با استفاده از منحنی توابع مثلثاتی تغییرات تابع را در هر دوره مشخص کنند. 5 محل برخورد توابع y cos kθ, y sin kθ با محور طولها را پیدا کنند. 6 مقادیر حداکثر و حداقل توابع y acos bx, y asin bx را تعیین کنند. فع الیت صفحۀ 9 هدف: شناخت و معرفی توابع مثلثاتی و همچنین آشنایی دانشآموزان با مفهوم دامنه تابع y. sin x در این فع الیت دانشآموزان یاد میگیرند که به ازای هر عدد حقیقی x برای sinx مقداری تعریف میشود و به این نتیجه میرسند که دامنه تابع R y sinx میباشد. توسعه دهید: به ازای هر عدد حقیقی y tanx, y cosx, y sinx x را تابع مثلثاتی مینامیم. در فعالیت صفحه 7 دانشآموزان با مسئلهای از محیط پیرامون خود آشنا میشوند که در آن ابتدا x < است و فاصله هر نقطه از چرخ و فلک تا سطح زمین را با استفاده از روابط مثلثاتی در مثلث قائمالزاویه به دست میآورند. در حالت دو م که x < میباشد فاصله هر نقطه تا سطح زمین کاهش مییابد ولی چون y با استفاده از نسبتهای مثلثاتی سینوس به دست میآید و sin ) (θ sinθ است در این حالت نیز به تابع y 5 sinx میرسند. 5
C sin x = C =5sin x 5 O cos χ C 9 صفحۀ فع الیت ٠ x < اگر ) y C OH 5 sinx y 5 sinx H x < اگر ) C C sin( x) = sin x = = C C = 5sin x 5 5 y OH O ( 5 sinx) 5 sinx cos χ C y مقداری x هر ازای به که است مشخص صفحه مثلثاتی دایره به توجه با y: cosx, y sin x توابع برد و دامنه حداقل و حداکثر yها محور روی بر توابع این برد همچنین میباشد. R توابع این دامنه بنابراین است. شده تعریف cos,x sinx برای است. ] ], توابع این برد دیگر عبارت به میباشد. و 4 صفحۀ فع الیت آورند. دست به را y sin x تابع تناوب دوره بتوانند دانشآموزان هدف: میآورند. دست به را y cosθ, y sin θ تناوب دوره دانشآموزان مقادیر جدول تکمیل با y 5 sin θ تابع در θ 6 4 y 7 / 5 / 6 / 9 5 / 9 5 اند. یکسان دوره یک در آمده دست به y مقادیر H آموزشی توصیۀ سینوس مثلثاتی نسبتهای θ زاویه یک ازای به بخواهید آنها از تناوب دوره از دانشآموزان بهتر درک منظور به دهند. نمایش را θ 6, θ 4, θ بگیرند: نتیجه میتوانند دانشآموزان شکل رسم با sinθ sin ( θ) sin(4 θ)... sin (k θ) هب اگر که است مثبتی مقدار کوچکترین که به و میباشد متناوب سینوس تابع که است مشخص باال تساویهای به توجه با کسینوس تابع برای میتوان را آمده دست به نتایج میگوئیم. سینوس تابع تناوب دوره میماند ثابت sinθ مثلثاتی نسبت شود اضافه θ کرد. مطرح نیز 6
راهن ی س ر ی )( منحنی توابع مثلثاتی فع الیت صفحۀ 4 اهداف: دانش آموزان بتوانند: منحنیهایی که نمایش سینوس دارند را تشخیص دهند. دوره تناوب تابع را با استفاده از نمودار آن به دست آورند. با توجه به شکل نقطه قرمز در هر ثانیه 44 6 * 4 زاویه را طی میکند و بنابراین در هر دقیقه: 864 * 6 44 و 765 درجه را در مدت /5 ثانیه )/5 44 765( طی میکند. اگر t پس از چهار دور کامل در نقطهای که قرار داشته قرار میگیرد. اگر = 4 t پس از سه دور کامل در نقطهای که قرار داشته قرار میگیرد. اگر = t پس از دو دور کامل در نقطهای که قرار داشته قرار میگیرد. )در طرف دیگر میز( نقطه مقابلی که قرار داشته t = 6 = t نقطه 9 درجه حرکت میکند 8 t میزان فاصله نقطه قرمز تا سطح 4 5 6 7 6 6 6 6 6 6 6 4 4 4 4 7 6 تابع فوق نمایش سینوسی با دوره تناوب 4 ثانیه دارد. تمرین در کالس صفحۀ 4 اهداف: دانش آموزان بتوانند: با استفاده از نمودار تابع سینوس تغییرات تابع را مشخص کنند. با استفاده از نمودار تابع سینوس مقادیری از x که به ازای آن y ٠ میشود را پیدا کنند. با توجه به جدول مقادیر و نمودار تابع تغییرات تابع در هر یک از ناحیهها بررسی میشود. y از تا یک افزایش: تا y از یک تا کاهش: تا تا y از تا کاهش: y از تا افزایش: تا فع الیت صفحۀ 4 6 5 6 7 6 9 6 هدف: دانشآموزان بتوانند تغییرات نمودار تابع y sin x را بر روی دایره مثلثاتی مشخص کنند.
مییابد. افزایش یک به از sin θ مقدار تا از θ زاویه افزایش با ل او ناحیه در مییابد. کاهش به از sin θ مقدار تا از θ زاویه افزایش با م دو ناحیه در تا از θ زاویه افزایش با م سو ناحیه در از θ زاویه افزایش با چهارم ناحیه در مییابد. کاهش به از sin θ مقدار مییابد. افزایش به از sin θ مقدار تا آموزشی توصیۀ y sin x نمودار مقادیر جدول از استفاده با دیگر طرف از و شدهاند آشنا مثلثاتی دایره روی بر y sin x تابع مفهوم با دانشآموزان کنند تحلیل و تجزیه را خود فهم و درک بتوانند دانشآموزان اینکه منظور به اند. کرده بررسی نمودار روی بر را تابع این تغییرات و رسم را شناختی درحیطه دانشآموزان ارزشیابی عنوان به فعالیت این از میتوانند معلمان همچنین کنند. مقایسه هم با را مفهوم دو این است الزم کنند. استفاده تحلیل و تجزیه و فهم و درک و 44 صفحۀ مثال کنند. پیدا را میشود صفر y sin x تابع آن ازای به که x از مقادیری بتوانند دانشآموزان هدف: میشود. مشخص xها محور با نمودار تالقی محل تابع نمودار از استفاده با y = sin x = x =, ±, ± x = K (k z) 8 کلی: حالت در و K y = sin bx = bx = K x = b 46 صفحۀ مثال ازای به که x از مقادیری و حداکثر و حداقل تناوب دوره از استفاده با را y asin bx, y acos bx مثلثاتی توابع هدف: کنند. رسم میشوند y آنها 48 صفحۀ فع الیت آورند. بهدست را y a sin bx تابع تناوب دوره نمودار و جدول از استفاده با بتوانند دانشآموزان هدف: 5 7 5 x 6 4 4 6 6 4 sin x / 5 / 7 / 87 / 7 / 7 / 7 sin x / 87 / 87 sin x + / 7 / 7 / 7 / 7 این برد واقع در و است مساوی تابع سه این حداکثر و حداقل مقادیر که میشود مشاهده sin,x sin,x sinx مقادیر مقایسه با
راهن ی س ر ی )( توابع بازه ], ] میباشد. همچنین با رسم آنها دوره تناوب به دست میآید. از طرف دیگر میتوان گفت: دوره تناوب تابع y sinx x < T دوره تناوب تابع y = sin bx bx < x < T = b b فع الیت صفحۀ 49 هدف: دانشآموزان با استفاده از جدول مقادیر حداقل و حداکثر تابع y a sinx را به دست آورند. در حالت کل ی در توابع y a sinbx, y a cosbx برای اینکه یک دور کامل طی شود باید bx تغییر کند که در این صورت x < b تمرین در کالس صفحۀ 5 هدف: دانشآموزان بتوانند مقادیری از x که به ازای آن تابع مقادیر حداکثر و حداقل پیدا میکند را مشخص کنند. دوره تناوب حداقل حداکثر y y sinx sinx y = sin αx x = y = sin α ( ) = sin = α α y = sin αx x = y = sin α ( ) = sin = α α y = cosαx x = y = cos α ( ) = cos= α α y = cosαx x = y = cos α ( ) = cos = α α ( نکته: مقادیر حداقل و حداکثر توابع در یک دوره تناوب: نکته: اگر ضریب sin ax و یا cos ax منفی باشد مقادیر حداقل و حداکثر برعکس میشود. مسائل صفحۀ 5 ١ 5 7 5 4 5 7 6 4 4 6 6 4 4 6 sin( x) / 5 / 7 / 86 / 86 / 7 / 5 / 5 / 7 / 86 / 86 / 7 / 5 sin( x) / 4 / 7 / 7 / 4 / 4 / 7 / 7 / 4 9 y sin x y sin ( x)
نمودار توابعی مانند تابع مثال 46 بر اساس حداقل و حداکثر توابع و دوره تناوب رسم میشود. الف( sin x sin x : دوره تناوب = 4 x = y = sin ( ) = x = y = sin ( ) = x = y = sin ( ) = x = y = sin ( ) = x = 4 y = sin ( 4 ) = 4 ب( cos x cos x : دوره تناوب = 4 x = y = cos( ) = x = y = cos ( ) = ( ) x = y = cos ( ) = x = y = cos ( ) = x = 4 y = cos ( 4 ) = x = y = cos ( ) = 4 : T = = دوره تناوب sinx sinx الف(
راهن ی س ر ی )( x = y= x = y = sin ( ) = x = y = sin= 4 x = y = sin = 6 6 x = y = sin = 4 4 4 4 x = y = sin = x = y= 4 4 y = cos x ب ) : T = = 6 دوره تناوب x = y= x = y = cos = x = y = cos = x = y = cos = 4 x = y = cos 4 = 5 x = y = cos 5 = 6 x = 6 y = cos = 4 الف( حداکثر ارتفاع y 6/5 sinθ حداکثر تابع یعنی 6/5 میباشد.) 9 θ( ب( حداقل تابع 6/5 m میباشد که در زوایای و 8 و 6 درجه ارتفاع صفر میشود. دوره تناوب :T= = 5 sin x 5 5sin x 5 5 ج( 5
b= : T= = دوره تناوب 4 b y =cos4 x b= : T= = دوره تناوب b y = cos x b= : T= 4 = 4 دوره تناوب b y = sin x 5 نمودار سمت چپ: نمودار سمت راست: نمودار پایینی: t d () /5cos /5 )6 الف( t d /5cos () /5 t d /5cos (4) /5 t d /5cos (6) /5 /5 d /5cos (t) cost k t = + 4 k = t = 4 k = t = 4 k = t = 5 4 /5 ب( /5 t cost /5 /5 cos بیشترین فاصله وزنه طبق شکل /5 سانتی متر است. ج( طبق نمودار مسیر رفت و برگشت ١ ثانیه می باشد و در ٣ ثانیه ٣ نوسان دارد. 5 کاربردهایی از مثلثات دانشآموزان با رابطه فیثاغورث در مثلث قائمالزاویه در سالهای گذشته آشنا شدهاند.در این بخش با استفاده از رابطه فیثاغورث و نسبتهای مثلثاتی روابط سینوسها و کسینوسها را در هر مثلث دلخواه به دست میآوریم و از این روابط در حل مسائل مربوط به آنها استفاده میکنیم. تمرین در کالس صفحۀ 5 CH BC BH BC CH BH CcosC BcosB BC C cosc Bcos ( B ) CcosC B( cosb ) BC C cosc BcosB H B C
تمرین در کالس صفحۀ 54 ( با معلوم بودن زاویه و طولهای C B مقدار BC به دست میآید. ( a b c bc cos راهن ی س ر ی )( a = + 64 6( ) a = 64 = 44 a = 8 b c C b a c B C a ( الف( رابطه کسینوسها برای یک مثلث قائمالزاویه: b a c ac cosb b a c ب( با استفاده از رابطه فیثاغورث رابطه کسینوس ها به دست آمده است. B S = (H BC) BC S = (Bsin B BC) S = acsin B BC BC H SinB = H = Bsin B B c فرمول مساحت مثلث b B a H C محاسبۀ رابطۀ سینوسها با استفاده از فرمول مساحت مثلث SBC = B C sin (I) SBC = BC C sin C (II) SBC = B BC sin B (III) sin sin C (I) = (II) Bsin = BCsin C = BC B sin C sin B (II) = (III) Csin C = Bsin B = B C C B sin sin C sin B = = B B C
4 تمرین در کالس صفحۀ 56 = = 5 c b ١ sin sin sin 5 / 86 5 / 4 c = = 6 / 7,b = = / 65 / 64 / 64 b C a 5cm x a x = = 56 sin sin 9 / 5 c B x 9/4 4cm 45cm مسائل صفحۀ 57 BC 4 45 (4) (45)cos5 º B C ٢ در پنج ضلعی منتظم اندازه هر زاویه 8 درجه است. BC () () cos (8) ( /9) sin B sin C sin 75 sin C = = 5/ 4 5/ 5/ 4 5/ / 96 5 / sin C = = / 9 C = 67 5/ 4 5/ B 75 5/4 C 4 O 6 OB B O OB (O) (OB)cos5 º B 6 (6) ()( /75) 9/6 B 5/ D O C B = BH = B = 5 H = 5 = 5 = 75 H = 75 5 S BCD ( + ) 75 5 75 = = = 5 75 = 5 B H D 4
راهن ی س ر ی )( C 9 7 7= 4+ ( )( )cos D cos D = D = S = ( )sin 6 = 57 S = ( )sin = 5 S+ S = 5 = 5 = DH = D = 6 * 5 9 6 DH * B مساحت متوازی االضالع H D B H S S 5 C 5 راه دو م: D 6 B S = S+ S = S = ( 5 sin 5 ) = 9 sin sin 5 / 87 = x = = 5 x / 6 h sin45 = h = xsin 45 = 5 / 7 = 6 / 9 x 5 D D / 89 = = D = D = 489 / 5 sin 6 / 5 sin / 5 / 89 / / D x = sin9 sin5 489 / 5 x = x = 5 / 59 / 4 B C B sin45 BC : = C = sin c sin B sin D 5 S / 5 S 5 C H 6 / 5 D 65 X B راه دو م: 7 8 9 5 / 7 C = = / 9 / 7 C CD : C = 9 CD = C DC / 9 DC = = DC = 77 sin sin 6 / 5 / 86 5 B
C B BC = = sin 75 sin65 sin C B / 9 = = B = = 4 / m / 96 / 9 / 64 / 64 C = 8 ( 75 + 65) = 4 / 96 C = = 4 / 5 m / 64 B سؤاالت تکمیلی ١ زوایای º و ٢ º را در موقعیت استاندارد رسم کنید. ٢ در دایرهای به شعاع ٥ سانتیمتر اندازه کمان مقابل به زاویه θ برابر ١٠ سانتیمتر است. اندازه این دایره برحسب رادیان چقدر است ٣ اندازه زاویههایی برحسب درجه 5 º و 85 º میباشند اندازه این زاویهها برحسب رادیان چقدر است ٤ اندازه زاویه هایی برحسب رادیان و 7 5 6 است اندازه این زاویه ها برحسب درجه چقدر است ٥ ٦ رادیان بزرگتر است یا 6 º چرا ٦ اندازه زاویهای که عقربه ساعتشمار در یک ساعت ١ تا ٢ طی میکند چقدر است )برحسب درجه و رادیان( ٧ خط y 5 با محور xها چه زاویهای میسازد θ 4 ٨ حاصل عبارت ) + )sin( = cos( θ+ بهازای θ= بهدست آورید. ٩ خط d با محور xها زاویه ای به اندازه 6 x sin 7 ساخته است شیب خط را پیدا کنید ١٠ نمودار تابع = y را با استفاده از مقادیر حداقلی و حداکثر و دوره تناوب رسم کنید. معادله هریک از منحنیهای زیر را بهصورت y asinbx و y acosbx که در آن x برحسب رادیان باشد بیان کنید. 6
راهن ی س ر ی )( ١٢ اگر در تابع y asinbx دوره تناوب T و بیشترین مقدار ٢ و کمترین مقدار ٢ باشد معادله این منحنی به چه صورت میتواند باشد دربازه [,] مقدار تابع با ضابطه y cos4θ صفر میشود ١٣ بهازای چه مقادیری برای θ ١٤ در تابع با ضابطه y sinx دربازه [ [, محور xها را در چند نقطه قطع میکند ١٥ محیط مربعی با محیط لوزی که یک زاویه 6٠ º دارد برابر است مساحت مربع چند برابر مساحت لوزی است ١٦ در شکل روبهرو اندازه زاویههای B و C و اندازه ضلع BC را بهدست آورید. B 5 45 C 7 در مثلث = 6 BC و C کنید. B اگر مساحت 8= S باشد اندازه ضلع BC را پیدا ١٨ مساحت مثلث ١٤ BC سانتی مترمربع است. اندازه زاویه θ را به دست آورید. 7 8 B C ١٩ در یک متوازی االضالع زاویه بین دو قطر ١٢٠ º می باشد اگر اندازه قطرهای آن ٢٠ و ١٢ باشد اندازه ضلع بزرگتر متوازی االضالع را به دست آورید. نمو نه سؤاالت ارزشیابی پایانی 7 در دنباله حسابی,... 7,5,, تعداد جمالت را مشخص کنید. حاصل عبارت زیر را بهدست آورید. معکوس کدام یک از رابطههای زیر تابع است ( 8) ( + 8 ) =, )(, )(, {( = R )الف )}, )(, )(, {( = R )ب )} } ) 5 )(,, 5)( (, { = R )پ 4 نمودار تابع f(x) x را در هر یک از حالتهای زیر رسم کنید. الف( دامنه f برابر مجموعه,,} { = باشد.
} < x = { x x R, < )الف } > R,x B = { x x )ب ب( دامنه تابع f اعداد حقیقی منفی باشد. پ( دامنه تابع f اعداد حقیقی باشد. 5 مجموعههای زیر را به صورت بازه نمایش دهید. y = همانی شود. x + ax + b 6 مقادیر a و b را چنان بیابید که تابع x + 7 نمودار تابع با ضابطه y * x را رسم کنید و محل تالقی نمودار با محور عرض ها را مشخص نمایید. 8 معادله ) log 4 (x ) log 4 (x را حل کنید. 9 زاویههای و ٢ درجه را در موقعیت استاندارد رسم کنید. اندازه زاویههایی بر حسب درجه 75 و 94 میباشد اندازه این زاویهها بر حسب رادیان چقدر است تمام زاویههایی را پیدا کنید که cosθ= به طوری که θ کمتر از باشد. با تعیین مقادیر حداقل حداکثر و دوره تناوب تابع y sinx را رسم کنید. این تابع محور xها را در چند نقطه قطع میکند 5 مقدار عددی عبارت tan( ) = sin 7 cos 4 در شکل زیر اندازه زوایای B و C را به دست آورید. را به دست آورید. B 5 C 5 زمینی به شکل مثلث داریم که اندازه دو ضلع آن و 6 متر است اگر زاویه بین اضالع آن 6٠ º باشد مساحت مثلث را به دست آورید. 6 معادله زیر قسمتی از نمودار تابع با ضابطه y asinbx است. مقادیر a و b را مشخص کنید. 4 8
راهن ی س ر ی )( پیشنهاد : در صورتی که دانشآموزان به ماشین حساب دسترسی ندارند جدول مقادیر در اختیار آنان قرار گیرد. رادیان اندازۀ زاویه درجه sin cos tg / / / / / ١٧٥ / ١٧٥ /9998 / ١٧٥ / ٣٤٩ / ٣٤٩ /9994 / ٣٤٩ / ٥٢٤ / ٥٢٤ /9986 / ٥٢٤ 4 / ٦٩٨ / ٦٩٨ /9976 / ٦٩٩ 5 / ٨٧٣ / ٨٧٢ /996 / ٨٧٥ 6 /١ ٤٧ /١ ٤٥ /9945 /١ ٥١ 7 / /9 /995 /8 8 /96 /9 /٩٩ ٣ /١٤ ٥ 9 /57 /564 /9877 /584 /745 /76 /9848 /76 /١٩٢ /١٩ ٨ /986 /944 /٢ ٩٤ /٢ ٧٩ /978 /6 /69 /٢٢٥ /9744 /٢٣ ٩ 4 /44 /49 /٩٧ ٣ /49 5 /68 /588 /9659 /679 6 /79 /756 /96 /867 7 /967 /94 /956 /٣ ٥٧ 8 /4 /٣ ٩ /95 /49 9 /6 /56 /9455 /44 /49 /٣٤٢ /997 /٣٦٤ /665 /584 /96 /89 /٣٨٤ /746 /97 /٤ ٤ /٤ ١٤ /٣٩ ٧ /٩٢ ٥ /445 4 /489 /٤ ٦٧ /95 /445 5 /46 /46 /٩ ٦٣ /466 6 /458 /484 /8988 /4877 7 /47 /٤٥٤ /٨٩١ /٥ ٩٥ 8 /4887 /4695 /889 /57 9 /٥ ٦١ /4848 /8746 /554 /56 /٥ /٨٦٦ /5774 9
اندازۀ زاویه درجه رادیان sin cos Tg /54 /٥١٥ /857 /٦ ٩ /5585 /599 /٨٤٨ /649 /٥٧٦ /5446 /887 /6494 4 /594 /559 /٨٢٩ /6745 5 /٦١ ٩ /576 /89 /٧ ٢ 6 /68 /5878 /٨ ٩ /765 7 /6458 /٦ ١٨ /7986 /756 8 /66 /657 /٧٨٨ /78 9 /٦٨ ٧ /69 /777 /٨ ٩٨ 4 /698 /648 /٧٦٦ /89 4 /756 /656 /7547 /869 4 /٧٣٣ /669 /74 /٩ ٤ 4 /٧٥ ٥ /٦٨٢ /74 /95 44 /7679 /6947 /79 /9657 45 /7854 /٧ ٧١ /٧ ٧١ / 46 /٨ ٢٩ /79 /6947 / ٣٥٥ 47 /٨٢ ٣ /74 /٦٨٢ / ٧٢٤ 48 /878 /74 /669 /١١ ٦ 49 /855 /7547 /656 /١٥ ٤ 5 /877 /٧٦٦ /648 /98 5 /٨٩ ١ /777 /69 /49 5 /٩ ٧٦ /٧٨٨ /657 /799 5 /٩٢٥ /7986 /٦ ١٨ /٣٢٧ 54 /945 /٨ ٩ /5878 /764 55 /9599 /89 /576 /48 56 /9774 /٨٢٩ /559 /486 57 /9948 /887 /5446 /599 58 / ١٢٣ /٨٤٨ /599 /٦ ٣ 59 / ٢٩٧ /857 /٥١٥ /666 6 / ٤٧٦ /٨٦٦ /٥ /7
راهن ی س ر ی )( اندازۀ زاویه درجه رادیان sin cos Tg 6 / ٦٤٧ /8746 /4848 /٨ ٤ 6 / ٨٢١ /889 /4695 /٨٨ ٧ 6 / ٩٩٦ /٨٩١ /٤٥٤ /966 64 /١١٧ /8988 /484 / ٥ ٣ 65 /45 /٩ ٦٣ /46 /445 66 /59 /95 /٤ ٦٧ /٢٤٦ 67 /694 /٩٢ ٥ /٣٩ ٧ /559 68 /868 /97 /746 /475 69 /٢ ٤٣ /96 /584 /٦ ٥١ 7 /7 /997 /٣٤٢ /7475 7 /9 /9455 /56 /٩ ٤٢ 7 /566 /95 /٣ ٩ / ٧٧٧ 7 /74 /956 /94 /٢٧ ٩ 74 /95 /96 /756 /4874 75 /٣ ٩ /9659 /588 /7 76 /65 /٩٧ ٣ /49 4/ ١ ٨ 77 /49 /9744 /٢٢٥ 4/5 78 /64 /978 /٢ ٧٩ 4/٧ ٤٦ 79 /788 /986 /١٩ ٨ 5/446 8 /96 /9848 /76 5/67 8 /47 /9877 /564 6/8 8 /4 /٩٩ ٣ /9 7/54 8 /4486 /995 /9 8/44 84 /466 /9945 /١ ٤٥ 9/544 85 /485 /996 / ٨٧٢ /٤٣ 86 /٥ ١ /9976 /698 4/٣ 87 /584 /9986 / ٥٢٣ 9/ ٨١ 88 /559 /9994 / ٣٤٩ 8/٦٣٦ 89 /55 /9998 / ١٧٥ 57/٢٩ 9 /٥٧ ٨ / / نامعین